W010522 Контрольная работа Место иррациональных неравенств в курсе математики школьной программы

1.1.Понятие иррационального неравенства

Иррациональными числами называются бесконечные непериодические десятичные дроби. Введение иррациональных чисел стало необходимым вследствие того, что решение новых математических задач требовало более широких понятий, чем действительные или вещественные, целые, натуральные и рациональные числа. Слово «ratio» переводится с латинского языка как «дробь», «отношение», а приставка «ир-» придает понятию противоположное значение. Поэтому название множества иррациональных чисел свидетельствует о том, что их нельзя соотносить с целыми или дробными числами.

Исторически принято считать, что иррациональные числа возникли в VII веке до н. э. Манава, известный математик из Индии, полагал, что квадратный корень из числа 61 и 2 не может быть извлечен точным образом. Пифагорейская школа привела первое доказательство существования иррациональных чисел, выявленных при обнаружении сторон пентаграммы.

Период средневековья ознаменовался возвышением иррационального числа до статуса «алгебраического объекта».

История множества иррациональных чисел в XVII веке связана с именем великого математика Леонарда Эйлера, внесшего внушительный вклад в теоретическое обоснование множества иррациональных чисел. В XIX веке научное математическое сообщество разделило иррациональные числа на два вида: алгебраические и трансцендентные. Оба вида иррациональных чисел досконально изучались математиками.

Неоценимый вклад в развитие теории иррациональных чисел внес немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, которого называют «отцом современного анализа». Именно ему принадлежит  обоснование и доказательство свойств и методов применения иррациональных чисел. На сегодняшний день иррациональные числа начинают изучаться в среднем звене общеобразовательной школы, и входят в состав выражений, уравнений и неравенств.

Неравенство – это соотношение между числами или величинами, которое указывает, какие из них больше других.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства f(x)>g(x) называется множество таких значений x, при которых и функция f(x) и g(x) определены. Другими словами, ОДЗ неравенства f(x)>g(x) – это пересечение областей определения функции f(x) и ОДЗ функции g(x). Частным решением неравенства f(x)>g(x) называется любое удовлетворяющее ему значение переменной x. Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Неравенства школьного курса можно классифицировать следующим образом:

1) рациональные (алгебраические) неравенства и системы.

2) иррациональные и трансцендентные неравенства и системы.

В состав последней группы входят иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Неравенство является иррациональным, если содержит неизвестное значение под знаком корня или в показателе степени.

Школьный курс математики располагает несколькими методами решения иррациональных неравенств. Рассмотрим их подробнее.

1. Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень.

Пример 1. Решить неравенство  

Решение. Так как   и   то исходное неравенство равносильно:  .

Решаем первую систему:

Решаем вторую систему:

Отметим, что при х>6 неравенство   выполнено, поэтому х>6.

Ответ:  

Пример 2: решить неравенство  .

Решение. Запишем равносильную систему неравенств:

Следовательно, неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить неравенство:  

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

  .

Переносим   вправо и почленно делим выражение на 6.

Ответ: (0; ).

2. Метод интервалов.

Метод интервалов является самым универсальным методом решения неравенств, поскольку подходит для решения практически всех их видов. Метод интервалов представляет собой алгоритм действий:

1) находим ООФ;

2) отмечаем в этой области нули функции, разбивающие ООФ на промежутки, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак;

3) определяем знак функции на каждом промежутке.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство  

Решение. Запишем равносильную систему неравенств:

Ответ: (4;6].

Пример 2. Решить неравенство:  

Решение: Запишем равносильную систему неравенств:

Ответ:  

Пример 3. Решить неравенство  

Решение. Запишем равносильную совокупность систем неравенств:

Ответ:  .

3. Сведение к равносильной системе.

Данный метод решения иррациональных неравенств является основным. Самые простейшие иррациональные выглядят следующим образом:

1)  

2)  

3)  

Иррациональное неравенство   или  можно представить в виде равносильной системы:

                                         (1)

Первое неравенство в системе (1) есть результат возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство есть условие существования корня в исходном неравенстве. Третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство   или   равно совокупности двух систем неравенств:

                                (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать. Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство   или   равносильно системе неравенств:

                                   (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство A(x)≥ 0 выполняется при этом автоматически. Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.

Разберем несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство  .

Решение. Данное неравенство равносильно системе:  

Ответ: х5.

Пример 2. Решите неравенство  .

Решение. Запишем равносильную систему неравенств:

Ответ:  

Пример 3. Решите неравенство  .

Решение. Запишем равносильную совокупность двух систем:

Ответ:  

Пример 4. Решите неравенство  .

Решение. Запишем равносильную систему:

Видим, что данная система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4. Введение новой переменной.

Иррациональные неравенства, так же как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменой. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите неравенство  

Решение. Введем новую переменную.

Пусть  

Тогда:  .

Запишем равносильную систему:

Отсюда:  . Произведем замену переменной:

Ответ:   или  .

Пример 2. Решите неравенство  .

Решение. Произведем замену   следовательно решить исходное неравенство можно, решив систему неравенств:

Следовательно,  .

Запишем систему, равносильную полученному двойному неравенству:

Ответ:  

Пример 3. Решите неравенство  .

Решение. Произведем замену:  .

Следовательно, чтобы решить исходное неравенство, достаточно решить систему:

Далее получаем:  .

Рассмотрим случаи:

1) Если 2х-1>0, то данное неравенство можно привести  к системе, которая не имеет решения:

2) Если 2х-1<0, то данное неравенство можно привести  к системе такого вида: