K004268 Дипломная работа Разработка алгоритма и программы для решения дифференциальных уравнений с помощью мультипликативного интеграла

ВВЕДЕНИЕ

В современном российском бизнесе особую роль играют такие отрасли, как строительство и тяжелое машиностроение. В условиях санкций Российской экономики встает необходимость в новых технологиях особенно остро. Инновации в отрасли машиностроения и строительства напрямую связаны с разработками новых сплавов и сочленения различных материалов, где математическая теория играет ключевую роль. Прочность подобных конструкций зависит от устойчивости в условиях изменения температур, и уравнения математической физики, в частности, уравнения теплопроводности, ложатся в основу математического моделирования этих процессов.

В данной работе предлагается инновационный подход к решению систем дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы поверхностей.

Цель работы - разработка приложения для реализации алгоритма приближенного решения системы.

Объект исследования - решаемая система уравнений.

Предмет исследования - алгоритмы приближенного вычисления мультиплекативного интеграла.

Предмет разработки – алгоритм и программа для решения дифференциальных уравнений с помощью мультипликативного интеграла.

Задачи исследования:

- сведение краевой задачи системы линейных дифференциальных уравнений к вычислению мультипликативного интеграла;

-   разработка алгоритма приближенного вычисления интеграла;

-   реализация этого алгоритма в среде Matlab;

Данная краевая задача решается с помощью мультипликативного интеграла. Разработана программа в Matlab, на вход которой даются коэффициенты уравнения, функция распределения параметров в начальный момент времени. Далее при помощи мультипликативного интеграла процесс колебаний поверхностей во времени смоделирован и графически отражен.

На защиту выносятся:

-  обоснование применимости мультипликативного интеграла;

-  алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с помощью мультипликативного интеграла;

-  приложение, разработанное в Matlab.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1. 1 Понятие мультипликативного интеграла

Введем понятие мультипликативного интеграла [3].

Пусть на отрезке [a,b]определена – функция вещественного переменного f(t) , принимающая значения в произвольной ассоциативной топологической алгебре A с единицей Е. Разобьем отрезок на n равных частей точками a=t_0

(1.1)

 Перейдем к пределу при неограниченном увеличении числа интервалов разбиения и стремления к нулю длин этих интервалов, получим.

                                                                                                                      (1.2)

Выражение, стоящее под знаком предела в равенстве (1.2), представляет собой интегральное произведение, которое есть аналог интегральной суммы для интеграла Римана. Предел этого произведения называется мультипликативным интегралом по отрезку [a,x] обозначается через

                                                                                                                      (1.3)

Функция F(x) в этих обозначениях называется первообразной f(x).

Опишем основные свойства мультипликативного интеграла.

Во-первых,

(1.4)

Это свойство говорит о том, что вычисление мультипликативного интеграла

(1.5)

сводится к решению дифференциального уравнения, так как подынтегральная функция с первообразной функцией связаны следующим образом:

  (1.6)

Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:

                                                         (1.7)

Таким образом, решение дифференциального уравнения вида (1.7) сводится к вычислению мультипликативного интеграла

 (1.8)

С другой стороны,

(1.9)

Откуда

                                                                                      (1.10)

1.2   Обзор алгоритмов численного вычисления интегралов. Постановка задачи разработки модуля

Алгоритмы численного вычисления интегралов сводятся к  вычислению частичных интегральных сумм,

  (1.11)

где, разбиение на промежутки производится исходя из структуры конфигурации первых и вторых разностей функции, а значения внутри промежутков берутся исходя из методов интерполяции функции.

Так, например, метод Котеса в качестве интерполяции используется многочлен первого или второго порядка, аппроксимирующий функцию по формуле Тейлора. Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Постановка задачи разработки модуля.

Требуется разработка алгоритма и программы для решения дифференциальных уравнений с помощью мультипликативного интеграла. Банк данных - система дифференциальных уравнений, которые нужно решить методом вычисления мультипликативного интеграла Вольтерра. Используется среда разработки  Matlab R2010a.  

Требуется разработка численного метода с помощью мультипликативного интеграла Вольтерра для решений системы линейных дифференциальных уравнений 8 порядка вида

(1.12)

где X- вектор размерности 8, а A- матрица 8 порядка.

Требуется разработка интерфейса ввода коэффициентов уравнений, а также задания граничных условий. Интерфейс должен удовлетворять следующим условиям:

- удобство использования;

- понятность;

- удобство доступа данных в среде разработки системы Matlab R2010a.

 При внедрении разработки должны быть автоматизированы следующие операции:

1. Автоматизация формирования конкретной системы линейных уравнений исходя из форм формата Excel, хранящих следующие данные:

- матрица коэффициентов;

- вектор граничных условий.

2. Создание базы данных с хранящейся в ней условно-постоянной информацией о коэффициентах системы линейных дифференциальных уравнений.

3.Решение системы дифференциальных уравнений методом вычисления мультипликативного интеграла Вольтерра.

4. На основании информации, полученной в результате решения системы дифференциальных уравнений методом вычисления мультипликативного интеграла Вольтерра создать удобный интерфейс для вывода и визуализации решений:

- формирование файла, хранящего выходные данные о векторе-функции X(t);

- формирование графического материала, визуализирующего поведение функции X(t), являющейся решением системы уравнений.

Таким образом, сформулированные задачи автоматизации решения системы линейных уравнений, позволяют сформулировать принципиальное техническое задание на разработку программного комплекса АСУ «ВОЛЬТЕРРА» 1.0 мониторинга поведения физических систем, описываемых данной системой.

Основание для разработки

Разработка программного обеспечения производится на основании плана ООО "Транзист-Видео". На основании этого была сформулирована тема выпускной квалификационной работы, в последствии утвержденной кафедрой.

Назначение разработки

- функциональное: АСУ «ВОЛЬТЕРРА» 1.0 должна предоставлять ввод и обработку данных;

- эксплуатационное: АСУ «ВОЛЬТЕРРА» 1.0 должна обеспечивать визуализацию векторов решения дифференциального уравнения.

Требования к программному комплексу АСУ «ВОЛЬТЕРРА» 1.0

В соответствии с требованием высокой производительности, архитектура разрабатываемой системы имеет многопоточный характер.

Опишем требования, предъявляемые к архитектуре данной системы. Поскольку она является многопоточной, эти требования во многом продиктованы требованиями, предъявляемые к многопоточным системам в целом. Они следующие:

- масштабируемость. Система должна быть рассчитана на различные, в том числе большие, нагрузки, а ее архитектура при этом оставаться неизменной. Под нагрузкой в данном случае будем понимать интенсивность потока поступающих данных. В зависимости    от    характеристик    конкретной    задачи,    эта интенсивность может быть значительной. Данное требование, в первую очередь, навязывает возможность одновременной работы нескольких компонентов по обработке данных.

- открытость.     Системы     должна     легко     расширяться     и модифицироваться. Для этого входящие в нее компоненты должны иметь четко определенные интерфейсы. Системы должна быть построена в соответствии с общепринятыми стандартами. Это требование приводит к тому, что для каждого компонента должны быть четко описаны операции, которые он выполняет, а также их параметры. Таким образом, должны быть определены интерфейсы компонентов, которые используются другими компонентами для доступа к функциям обработки.

- прозрачность. Архитектура системы, удовлетворяющая предыдущим требованиям достаточно сложна. В то же время, она должна восприниматься пользователем как единое целое. Это приводит к тому, что факт многопоточности системы должен быть максимально скрыт от ее составляющих, а также пользователей, то есть быть прозрачным. Важным является прозрачность доступа, обеспечивающая однотипность заявок на обслуживание при связи с компонентами одного компьютера и разных компьютеров. Также важна прозрачность местонахождения, означающая максимальную независимость методов идентификации компонентов в рамках данной архитектуры от их реального месторасположения[9].

Предыдущие требования прозрачностей приводят к важному свойству распределенных компонентов - прозрачности миграции, означающая, что компоненты могут быть перенесены на другие компьютеры сети без изменения архитектуры системы и так, чтобы эта операция происходила незаметно для процесса обработки. Еще одним типом прозрачности, реализация которого крайне важна, является прозрачность долговременного хранения. Она состоит в том, что компоненты системы являются долговременными и сохраняют свое состояние на внешнем носителе до тех пор, пока не будут активированы некоторым процессом. В этом случае их состояние считывается.