V003424 Контрольная работа Дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание

Введение

Глава 1. Андрей Николаевич Тихонов. Уравнения с малым параметром

Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

2.1. Начальная задача

2.2. Теорема Тихонова

2.3. Алгоритм построения асимптотического разложения решения начальной задачи

Введение

Данная работа посвящена важному классу дифференциальных уравнений – уравнениям содержащим малый параметр при старшей производной. Если положить значение параметра равным нулю, то порядок уравнения понижается, и решение упрощенного уравнения не может удовлетворить дополнительным условиям, поставленным для исходного уравнения. В этом заключается трудность построения асимптотического разложения решений таких уравнений, к ним невозможно применить «классическую» схему разложения в степенной ряд по малому порядку. В связи с этим, возмущения подобного рода принято теперь называть – сингулярными возмущениями.

Уравнения с малыми параметрами при производных привлекают внимание многих исследователей, начиная с основополагающих работ академика Андрея Николаевича Тихонова. Сингулярно возмущенные уравнения занимают большую значимость. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании процессов в биологии, в физике и во многих других науках. В настоящий момент развит ряд асимптотических и численных методов, которые позволяют строить приближенное решение в тех или иных сингулярно возмущенных задачах.

Работа состоит из четырех глав и приложения, в котором приводятся примеры сингулярно возмущенных уравнений в реальной жизни, а именно, модельная система сердцебиения Зимана.

Первая глава посвящена выдающемуся ученому двадцатого века академику Андрею Николаевичу Тихонову, внесшему огромный вклад в изучение сингулярно возмущенных уравнений.

Во второй главе рассматриваются сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения. Представлена фундаментальная теорема Тихонова о предельном переходе и описывается алгоритм построения асимптотического разложения решения начальной задачи.

В третьей главе представлены сингулярно возмущенные уравнения с частными производными, излагается известный метод Люстерника – Вишика на примере эллиптического уравнения в области с гладкой границей.

Четвертая глава целиком посвящена дискретным уравнениям.

Глава 1

Андрей Николаевич Тихонов

Андрей Николаевич Тихонов – математик с мировым именем, академик, дважды Герой Социалистического Труда, дважды лауреат Государственной премии, лауреат Ленинской премии, кавалер шести Орденов Ленина. Научное творчество Тихонова представляет собой образец сочетания достижений в самых абстрактных областях «чистой» математики с глубокими исследованиями прикладных математических проблем. В учебники по топологии и функциональному анализу вошли такие понятия, как тихоновское произведение и топология Тихонова. В середине XX века Тихонов создал новый метод электромагнитной разведки для изучения строения Земли. В 1960 – 70 годы появился на свет «метод регуляризации Тихонова» для решения некорректно поставленных задач. Класс единственности Тихонова – еще один общепринятый термин, название класса функций, в котором единственное решение задачи Коши на прямой. Основополагающие результаты были получены им в теории обратной спектральной задачи. Андрей Николаевич проявил себя, как активный участник отечественного атомного и космического проектов. Как мы можем видеть, деятельность Тихонова весьма многогранна, и оценена по достоинству.  

Одновременно с работами по геофизике Андрей Николаевич начинает исследования по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной. Цикл работ Тихонова положил начало самостоятельному направлению современной математике – теории сингулярных возмущений. К математической постановке задачи Андрея Николаевича подвела одна модель из области физической химии. Пусть происходит разложение вещества A под действием катализатора B, причем одновременно имеют место два процесса. Первый процесс состоит в соединении вещества A и катализатора B с образованием промежуточного продукта C и вещества, которое выпадает в осадок или же выделяется каким-то другим образом. Второй процесс состоит в том, что вещество C, будучи неустойчивым, распадается, восстанавливая катализатор B и образуя еще одно выделяющееся вещество. Если обозначить соответствующими малыми буквами концентрации веществ, то рассматриваемое явление будет описываться системой с начальными условиями:

где   и   - постоянные, характеризующие скорость реакции. Нужно найти концентрацию катализатора   как функцию  . Исключая   и переходя к безразмерным величинам  , можно систему уравнений свести к оному уравнению: