W003488 Дипломная работа Арифметическая и геометрическая прогрессии

Введение

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором  Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно  продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее  время термин «прогрессия» в первоначально  широком смысле не употребляется. Два  важных частных вида прогрессий –  арифметическая и геометрическая –  сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением  которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас  из древности, были связаны с запросами  хозяйственной жизни: распределение  продуктов, деление наследства и  др.. Некоторые формулы, относящиеся  к прогрессиям, были известны китайским  и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы  арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого  на первый взгляд небольшого раздела  школьного курса заключается  в его чрезвычайно широких  областях применения, в частности  он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, чтобы учащийся мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, и даже почерпнуть много нового и интересного.

Цель работы: изучить особенности изложения темы «Прогрессии» в школьном курсе математики и разработать для учащихся тест по типу ЕГЭ по данной теме.

Для достижения поставленной цели требуется выполнение следующих задач:

Изучение теоретических основ выбранной темы;

Анализ школьных учебников и материалов ЕГЭ по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

Самостоятельный отбор тестовых заданий по теме исследования;

Разработка факультатива по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Объектом исследования является процесс изучения темы «Прогрессии» в школьном курсе математики.

Предмет исследования:  особенности изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Гипотеза: процесс изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» будет более успешным, если уделить особое внимание изучению этой темы на факультативных занятиях по математике.

В процессе выполнения выпускной квалификационной работы была определена её структура: ведение, теоретическая и практическая часть, заключение, список литературы.

Во введении обоснована актуальность, поставлены цели и задачи выпускной работы, перечислены методы для их решения.  

В первой главе изложен весь теоретический материал по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессии». Даются определения основных понятий, рассматриваются свойства членов прогрессий, сумма первых  n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Представлен анализ школьных учебников по изложению темы исследования

Во второй главе представлена практическая область исследования по теме. А именно, проведен анализ контрольно измерительных материалов ЕГЭ за последние 7 лет по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», разработан тест по типу ЕГЭ с его полным решение и представлен факультативный курс для подготовки к ЕГЭ по данной теме.

В заключении проводятся итоги проделанной работы.

Апробация факультативных занятий проводилась в период педагогической практики в МОУ «Лицей № 35 г. Челябинска» в 9 классе.

ГЛАВА 1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГРЕССИЙ

§1. Числовые последовательности и их свойства

Числовая последовательность – это функция вида y=f(x),xϵN, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y=f(n) или  y_1,y_2,…,y_n,…. Значения y_1,y_2,y_3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y=n^2можно записать:

y_1=1^2=1

y_2=2^2=4

y_3=3^2=9

…

y_n=n^2  и т.д.

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n - го члена:  y=f(n)

Пример.  y_n=2n-1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….

При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего, в таких случаях, указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1.〖 y〗_1=4,y_n=y_(n-1)+4, если n=2,3,4,….

Здесь y_1=3; y_2=3+4=7; y_3=7+4=11;… .

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически:〖 y〗_n=4n-1.

Пример 2. y_1=1; y_2=1; y_n=y_(n-2)+y_(n-1), если n=3,4,….

Здесь:y_1=1; y_2=1; y_3=1+1=2; y_4=1+2=3; y_5=2+3=5;

y_6=3+5=8.

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. -е число Фибоначчи выражается через его  порядковый номер следующей формулой:

a_n=1/√5 [((1+√5)/2)^n+((1-√5)/2)^n ]

На первый взгляд, формула для -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной,  так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Последовательность {y_n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y_1

Последовательность {y_n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y_1>y_2>y_3>⋯>y_n>y_(n+1)>⋯.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y_1=1; y_n=n^2 – возрастающая последовательность.

Пример 2. y_1=1; y_n=1/n  – убывающая последовательность.

Пример 3. y_1=1; y_n=〖(-1)〗^(n-1)∙1/n  – эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n=y_(n+T) . Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность y_n=〖(-1)〗^n периодична с длиной периода T=2.

§2. Арифметическая прогрессия

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом – число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

 .

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь, она равна 1/(n+1).

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, a_1,a_2,a_3 и т.д. (читают: “a первое, a второе, a третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначаютa_n. Саму последовательность будем обозначать так: (a_n).

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой a_n=2n, а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, – формулой b_n=1/(n+1).

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой y_n=n^2-3n. Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: y_1=-2,  

Пример 2. Пусть первый член последовательности (a_n) равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е. a_1=3,a_(n+1)=a_n^2

С помощью формулы a_(n+1)=a_n^2 можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность (a_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

a_(n+1)=a_n+d, (1)

где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: a_(n+1)-a_n=d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Пример 1. Если a_1=1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа.

Пример 2. Если a_1=1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Пример 3. Если a_1=-2 и d=-2, то заданная арифметическая прогрессия: – 2; – 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Пример 4. Если a_1=7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что a_6=a_1+5d,a_7=a_1+6d, и вообще, чтобы найти a_n нужно к a_1  прибавить (n – 1)d, т. е.

a_n=a_1+d∙(n-1). (2)

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

При n=1 эта формула верна: a_1=a.

Предположим, что формула (2) верна приn=k, k≥1, т.е. a_k=a_1+d(k-1).

По определению арифметической прогрессии a_(k+1)=a_k+d. Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим a_(k+1)=a_1+d(k-1)+d=a+dk, а это есть формула (2) при n=k+1.

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального n.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность (c_n ) – арифметическая прогрессия, в которой c_1=2,3 и d=0,45. Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем: c_10=2,3+0,45∙9=2,3+4,05=6,35

c_100=2,3+0,45∙99=2,3+44,55=46,85.          

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии (x_n ): – 10; – 5,5; – 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии x_n=-10 и d=x_2-x_1, d=-5,5-(-10)=4,5. Запишем формулу  -го члена прогрессии:

x_n=-10+4,5(n-1), т.е. x_n=4,5n-14,5.

Число 71 является членом арифметической прогрессии (x_n ), если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n – 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n – 14,5 = 71.

Получим: 4,5n = 85,5, n=19.

Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу -го члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d(n-1) можно записать иначе: a_n=dn+(a_1-d).

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b – некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность (a_n ), заданная формулой вида

a_n=kn+b , где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и -го членов последовательности (a_n ):

a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b-kn-b=k

Значит, при любом n справедливо равенство a_(n+1)=a_n+k, и по определению последовательность (a_n ) является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при k≥2 верной является формула

a_k=(a_(k-1)+a_(k+1))/2.                                               (3)

Действительно, при k≥2 имеем a_k=a_(k-1)+d и a_k=a_(k+1)-d. Складывая почленно эти равенства, получим 2a_k=a_(k-1)+a_(k+1), откуда следует (3).

2. У конечной арифметической прогрессии a_1,a_2,…,a_n сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для k=1,2,…,n верной является формула 〖   a〗_k+a_(n-k+1)=a_1+a_n. (4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии a_1,a_2,…,a_n члены a_k и a_(n-k+1) равноотстоят от концов. По формуле (2) a_k=a_1+d(k-1) и a_(n-k+1)=a_1+d(n-k). Сумма этих членов равна a_k+a_(n-k+1)=2a_1+d(n-1) и равна сумме крайних членов a_1+a_n=2a+d(n-1).

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания:  S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.                        

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

2S=101∙100,S=(101∙100)/2=5050.

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если S_n=a_1+a_2+⋯+a_(n-1)+a_n, то S_n=(a_1+a_n)/2 n.  (5)

Действительно, если   S_n=a_1+a_2+⋯+a_(n-1)+a_n, то

S_n=a_n+a_(n-1)+⋯+a_2+a_1.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем 2S_n=(a_1+a_n )+(a_2+a_(n-1) )+⋯+(a_1+a_n )=n(a_1+a_n), откуда следует формула (5).

Приведем примеры.

Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии a_1=1,d=3,5-1=2,5. По формуле -го члена найдем двадцатый член прогрессии:

a_20=1+2,5∙19=48,5

Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:

S_20=((1+48,5)∙20)/2=49,5∙10=495.

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо (a_n ) выражение a_1+d(n-1) получим: S_n=(a_1+a_1+d(n-1) )n/2  т.е.  S_n=(〖2a〗_1+d(n-1))/2 n.  (6)

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:

 .

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности (a_n ), заданной формулой a_n=5n-4.

Последовательность (a_n ) является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида a_n=kn+b, где k = 5 и b=-4.

Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии:

Теперь по формуле (5) вычислим S_30:

S_30=((1+146)∙30)/2=147∙15=2205.

Пример 3. Найдем сумму 1+2+3+⋯+n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.

Применив формулу (5) к арифметической прогрессии 1;2;3;..., получим, что 1+2+⋯+n=(1+n)n/2.

Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой a_n=6n. Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство 6n≤250. Получим n≤412/3.

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41.

Имеем: a_1=6, a_41=6∙41=246, S_41=((6+246)∙41)/2=5166

§3. Геометрическая прогрессия

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; 22; 23; 24; … .

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность (b_n ) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

b_n≠0 и b_(n+1)=b_n∙q.                                          (1)

где q – некоторое число. Обозначим, например, через (b_n )последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство b_(n+1)=b_n∙2; здесь q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство: b_(n+1)/b_n =q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Приведем примеры.

Пример 1. Если b_1=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1,0,1,0,01,0,001,0,0001,... .

Пример 2. Условиями b_1=-2 и q=3 задается геометрическая прогрессия -2,-6,-13,-54,-162,... .

Пример 3. Если b_1=4 и q=-3, то имеем прогрессию: 4,–12,36,–103,324,… .

Пример 4. Если b_1=8 и q=1, то получим геометрическую прогрессию 8,8,8,… .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:

b_2=b_1∙q,

b_3=b_2∙q=(b_1∙q)q=b_1∙q^2,

b_4=b_3∙q=(b_1∙q^2 )q=b_1∙q^3,

b_5=b_4∙q=(b_1∙q^3 )q=b_1∙q^4.

Точно так же находим, что b_6=b_1∙q^5 и т. д. Вообще, чтобы найти (b_n ), мы должны b_1  умножить на q^(n-1), т. е. b_n=b_1∙q^(n-1).                           (2)

Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. Формула (2), очевидно, верна при n=1.

2. Предположим, что она верна и при n=k,k≥1, т.е. b_k=b_n∙q^(k-1).

3. Из (1) следует b_(k+1)=b_1 q^k, то есть формула (2) верна и при n=k+1.

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального n.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. В геометрической прогрессии b_1=0,8 и q=1/2. Найдем b_10.

По формуле n -го члена геометрической прогрессии

b_10=0,8∙(1/2)^(10-1)=2^3/10∙1/2^9 =1/(2^6∙10)=1/640.

Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии (b_(n ) ),

если b_1=162 и b_3=18.

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как  b_3=b_1∙q^2 ,то   q^2= b_3/b_1 =18/162=1/9 .  

Решив уравнение,  q^2= 1/9,  найдем, что  q= 1/3 или q= -1/3 .

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если q=1/3,   то b_8=b_1∙q^7=162∙(1/3)^7= (2∙3^4)/3^7 =2/27.  

Если q= -1/3  , то  b_8=b_1∙q^7=162∙(-1/3)^7=- (2∙3^4)/3^7 =-2/27.

Задача имеет два решения: b_8=2/27   или b_8= -2/27 .

Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 750 мм рт. ст.

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 750∙〖(0,8)〗^6 .

Произведя вычисления, получим:

750∙(0,8)^6≈750∙0,26≈200  (мм. рт. ст.)