V000317 Курсовая работа Создание дидактических материалов по теме «Решение уравнений с модулем», систематизированных по методам решения

Содержание

Введение………………………………………………………………………………..3

Модуль и его свойства………………………………………………………...5

Понятие модуля………………………………………………………………….5

Свойства модуля………………………………………………………………...6

Способы и методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля…………………………………………………………………..9

Способ последовательного раскрытия модулей………………………………9

Способ одновременного раскрытия модулей………………………………...10

Метод интервалов……………………………………………………………...12

Способ возведения в квадрат………………………………………………….14

Способ, использующий свойства функции, входящих в уравнение………..16

Построение графиков функции и зависимостей, содержащих знак модуля…………………………………………………………………………..17

III.  План-конспект по данной теме………………………...................................23

Заключение…………………………………………………………………………...26

Литература…………………………………………………………………………...27

Введение

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия ( в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Модуль в программировании представляет собой функционально законченный фрагмент программы, оформленный в виде отдельного файла с исходным кодом или поименованной непрерывной его части, предназначенный для использования в других программах.

Цель работы состоит в создании дидактических материалов по теме «Решение уравнений с модулем», систематизированных по методам решения.

Для достижения этой цели необходимо решить задачи:

проанализировать учебно-методическую литературу;

рассмотреть имеющиеся методы решения уравнений с модулем;

составить теоретическое обоснование методов;

подобрать комплексы упражнений на каждый из методов.

Таким образом, объектом исследования является содержательно-методическая линия уравнений курса математики средней школы, а её предметом - методы решения уравнений с модулем.

  В данной работе представлены методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля: способ последовательного раскрытия модуля; способ одновременного раскрытия модулей; метод интервалов; способ возведения в квадрат; способ, использующий свойства функции, входящих в уравнение; построение графиков функции и зависимостей, содержащих знак модуля .Также для каждого метода подобраны комплексы уравнений.

Модуль и его свойства

 Понятие модуля

Впервые с модулем числа мы знакомимся в шестом классе, где даётся такое определение:

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а). Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Однако для решения задач более удобным оказывается другое определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется то самое число а> 0, и противоположное число –а, если а<0.

Оба приведенные определения являются эквивалентными.

Модуль числа а обозначается |а|. Итак,

|a|={█(а,если а > 0,@-а,если а < 0)┤

Например:

Вычислить |а|, если

1. а=5

2. а=-4,6

Решение:

1.|5|=5,т.к. 5>0.

2.|-4,6|=-(-4,6)=4,6.

1.2 Свойства модуля

Все свойства модуля можно разделить на две группы:

1. соотношения с одной переменной;

2. соотношения с двумя переменными;

3. свойства модуля, связанные с неравенствами.

Первая группа свойств

1.1. Модули противоположных чисел равны: |а| = |-а|.

1.2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|2=a2

Следствие |a|m=am для любого четного числа m.

1.3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа:

√(a^2 )=|a|

Следствие √(2n&a^2n )=|a| , где n - любое натуральное число.

1.4.  Модуль числа есть число неотрицательное |а|≥0.

1.5.  Модуль числа не меньше этого числа: |а|≥0.

1.6. Модуль числа а равен максимальному из двух противоположных чисел а и

(-а): |a| = max (a;-a).

1.7. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля

|cx| = c|x|,c>0.

1.8. Если |a| = |b|, то a=+b.

Покажем, как эти свойства используются при решении задач:

Решить уравнение

Пример 1. |x|+4|-x|=6.

Решение. Воспользуемся свойством 1.1., получим |x|+4|x|=25

5|x|=25,

|x| =5,

x= +5. Ответ: х=+5.

Пример 2. х2-6|x|+5 = 0

Решение.1 способ. Можно было бы воспользоваться определением модуля и рассмотреть два случая:

1) x < 0, |x|=-x. x2+6x+5 = 0,x1=-5, x2=-1.

2) x ≥ 0, |x|=x. x2-6x+5=0,x1=1, x2=5.

Однако свойство 1.2. позволяет сократить путь решения.

2 способ. Данное уравнение перепишем в виде |x|2 – 6|x|+5 = 0 и решим относительно |x| : |x| = 1, откуда х=+1, х=+5.

Ответ:х=+1,х=+5.

Вторая группа свойств

2.1. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей

|ab|=|a||b|.

2.2. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей:

|a/b|=|a|/|b| ,  если b ≠ 0.

2.3.  Модуль суммы двух (или более) чисел не больше суммы их модулей:

|a+b|≤|a| + |b|.

|a+b|≤|a| + |b|, тогда и только тогда, когда ab ≥ 0.

2.4.  Модуль разности двух чисел не больше суммы их модулей:

|a-b|≤|a| + |b|.

2.5.  |a-b| = |a|+|b|, тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.

2.6.  Модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей:

|a + b| ≥ |a| - |b|

Пример 3. |x2-3x| = 3-x.

Решение. Используя свойство 2.1., перепишем данное уравнение в виде

|x||x-3|=3-x. По свойству 1.4. имеем 3-х≥0, откуда х≤3. Тогда |x-3|=3-x и уравнение принимает вид |x| (3-x)=3-x.

При х≠3 |x|=1, x=+1. При х=3 имеем |3|0=0. Равенство верно. Ответ:x=+1.

Третья группа свойств

1) Если   ;

2) Свойство транзитивности. Если  ;

3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т.е. если  ;

4) Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, т.е. если  ;

5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если  ;

6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если  ;

7) Аналогично правилам 5) и 6) действуют правила для деления на одно и то же число.

Пример 4.  Решить неравенство |х + 5| > 4.

Решение: ОДЗ: х  R. Согласно восьмой строке таблицы

|x + 5| > 4  x + 5 < -4 или x + 5 > 4  x < -9 или x > -1.

Ответ: х  (- ; -9)  (-1; + ).

Способы и методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Способ последовательного раскрытия модулей

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.

Ответ: 9; 1.

Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.

1) |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.

2) |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.

Ответ: 5,5; -4,5.