V000057 Реферат Математическая логика

1. Введение

В настоящее время математические методы широко используются в логике классов (объёмов понятий), высказываний и предикатов, в технике (в теории релейно-контактных электрических схем и устройств), в биологии (при формализации систем таксономии и теории эволюции) и в других многочисленных областях. Развитие математической логики вызвано приемущественно потребностями математики в точном обосновании и строгом изложении, особенно с теми же трудностями (парадоксы теории множеств, решение проблемы разрешения и т.д.), которые связаны с решением ряда важнейших задач математики.

Эволюцию идей математической логики нельзя представить в виде непрерывающейся восходящей кривой. Периоды расцвета в ходе логических изысканий часто сменялись моментами частичного упадка и относительного регресса. В факте неравномерного развития логико-математической мысли нет ничего принципиально неожиданного. Эта неравномерность подтверждает правоту марксистско-ленинского тезиса о том, что развитие науки протекает не плавно, а путём скачкообразного продвижения, путём качественных переворотов, революционизирующих методы науки и её содержание. На всем протяжении своей истории математическая логика была тесно связана с определенными ступенями в развитии иных наук и в зависимости от того или иного состояния современной ей научной проблематики принимала разнообразные модификации.

Одной отличительной особенностью работ большинства первопроходцев математической логики является математическая обработка дедуктивной части традиционной логики Аристотеля. Представленные в этих работах логические исчисления являлись аналогом известных алгебраических исчислений Виетты и Декарта. В этих исчислениях упоминались два вида выражений – одни для обозначений суждений, отношений или предикатов, другие для обозначения предметов. При подстановке имен постоянных единичных предметов на место соответствующих выражений и переменных второго вида получались характеризующиеся признаками истинности или ложности предложения. С записанными на искусственном языке буквенного исчисления предложениями оказалось возможным оперировать по достаточно простым определенным правилам похожим на законы арифметической алгебры.

Хотя начатое трудами Лейбница направление не было непосредственно связано с потребностями современной ему математики, представителями этого направления были получены достаточно ценные отдельные научные результаты, к числу которых можно отнести существенный вклад в разработку общей теории отношений, логический анализ свойств некоторых операций, а также создание основ алгебры логики. В глубинах этого направления буквально вызревало понятие современной математики – понятие дистрибутивной структуры, дело с которым приходится иметь как в логике и математике, так и в их приложениях к физике и другим наукам.

Математическая или символическая логика очень тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики - науки о законах и формах человеческого мышления были заложены древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.), который в своих трактатах исследовал терминологию логики, тщательно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, противоречия и исключения третьего. Вклад Аристотеля в логику весьма велик, другое ее название - Аристотелева логика. Аристотель заметил, что между созданной им наукой и арифметикой много общего. Он попытался соединить две эти науки, а именно свести умозаключение к вычислению на основании исходных положений. В одном из своих трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики - теории доказательств.

2. Г.В.Лейбниц – основоположник математической логики

В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний. Ближе всех к созданию математической логики подошел во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), который указал пути для перевода логики «из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно». Г.В.Лейбниц надеялся что в будущем философы вместо того чтобы попросту спорить, будут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. В своих работах Лейбниц затрагивал так же двоичную систему счисления. Знакомым всем примером двухсимвольного кодирования является азбука Морзе, в которой буквы алфавита представляются определенными сочетаниями точек и тире.

Согласно Лейбницу, логика является наукой, которая обучает другие науки методам открытия и доказательства всех следствий, вытекающих из заданных посылок. Далее приведены основные принципы логики, сформированные Лейбницем:

1. каждое понятие может быть сведено к фиксированному набору простых, т.е. неразложимых далее, понятий;

2. сложные понятия выводятся из простых лишь с помощью операций логического умножения и пересечения объемов понятий в логике классов;

3. набор исходных простых понятий должен удовлетворять критерию непротиворечивости;

4. Любое истинное высказывание является предикативным в том смысле, что оно может быть эквивалентным образом переведено в другую форму, в которой предикат уже подразумевается в субъекте;

5. всякое истинное утвердительное предложение является аналитическим в том смысле, что его предикат содержится в субъекте.

В теории познания Г. Лейбниц стоял на позициях идеалистического рационализма, который в основном направлен против эмпиризма Дж. Локка. Он отрицает чувственный опыт как источник необходимости и всеобщности знания. По Г. Лейбницу, таким источником может быть только разум. Разумное, рациональное познание раскрывает действительное, необходимое и существенное в мире, тогда как чувственное познание постигает лишь случайное и эмпирическое. Отсюда чувственное познание (как низшая ступень) может дать лишь "истины факта", истины эмпирические. Рациональное познание же, наоборот, дает истины общие и необходимые.

В философском труде "Монадология" Г. Лейбниц писал: "Есть два рода истин: истины разума и истины факта. Истины разума необходимы, и противоположное им невозможно; истины факта — случайны, и противоположное им возможно. Основание для необходимой истины можно найти путем анализа, разделяя ее на идеи и истины более простые — до первичных". Вместе с тем с рационализмом Г. Лейбниц сочетал и некоторые элементы эмпиризма, признавая существование истин факта, устанавливаемых опытным путем, с помощью индукции. К истинам разума, по его мнению, принадлежат все утверждения и истины логики и математики, к истинам факта — истины естественных наук. В то время как первые необходимы, вторые, по Г. Лейбницу, — случайны. Основой научного знания, считал он, является дедукция, а критерием истинности — ясность, отчетливость и непротиворечивость рассуждения. Г. Лейбниц полагал, что в соответствии с этим для проверки истин разума достаточны основные законы логики, сформулированные Аристотелем. Г. Лейбниц пополнил логику Аристотеля с ее тремя законами тождества, противоречия и исключенного третьего сформулированным им четвертым законом достаточного основания, который обеспечивает нахождение истин факта и обоснованность положений, принимаемых за истину. Закон достаточного основания Г. Лейбниц рассматривал как указание для поисков цепи явлений, где каждое следующее звено служит достаточным основанием для предыдущего звена и т. д. В конце цепи находится достаточное основание всего существующего — Бог.

Суждения Г. Лейбниц разделил на аналитические, которые самоочевидны и в которых выражаются необходимые истины, и синтетические, в которых выражаются случайные фактические истины.

Лейбниц создал систему логических модальностей и тем самым подошел к разработке модального исчисления. Он предложил 24 модуса, которые равномерно распределяются по четырем фигурам, в каждой из которых по шесть модусов. Пытаясь создать новую логику, Г. Лейбниц исходил из логического анализа языка. Он стремился вывести универсальную логическую символику, которая бы изображала знаками все элементарные предметы мышления и благодаря которой действия над знаками отображали бы все возможные соединения этих предметов. По Г. Лейбницу, сочетание логических символов должно давать возможность обнаруживать ошибочное сочетание понятий.

Заслуга Г. Лейбница заключается в том, что он сделал одну из первых успешных попыток формализации и арифметизации логических операций. В сочинении "О комбинаторном искусстве" Г. Лейбниц дает основы современной математической (символической) логики, он также положил начало исчислению вероятностей.

3. Джордж Буль

После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815-1864), целеустремленность которого не знала границ.

Уже в 1839 году он написал свою первую статью по абстрактной алгебре «Исследования по теории аналитических преобразований» (Researches on the Theory of Analytical Transformations). За ней последовал целый поток публикаций в имевшихся в ту пору английских математических журналах.

Спустя пять лет научная деятельность Буля была оценена. В 1844 году Буль был удостоен медали Королевского научного общества. Это был первый случай, когда медаль вручалась только за математические работы. Может быть, такое скорое признание и не слишком большое почтение к местным авторитетам и вызвали неоднозначную реакцию коллег, что отдалило Буля от математической среды. Однако это не помешало ему опубликовать в 1847 году труд «Математический анализ логики», в котором Буль впервые высказал идеи символической логики. В нем он показал, что с помощью алгебраических уравнений можно представить то, что со времен Аристотеля существовало только в вербальной форме. Буль писал: «Мы больше не должны связывать логику с метафизикой, но логику с математикой». Свой основной труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» Буль опубликовал в 1854 году. В 1857 году он был прият в члены Королевского научного общества. После чего занимался и традиционными математическими дисциплинами. В 1859 году он написал работу, посвященную дифференциальным уравнениям, а в 1860 году — вычислениям конечных разностей. Также он занимался теорией вероятностей. В общей сложности им было написано больше 50 работ.

Необходимо отметить, что дальнейшее развитие булева алгебра получила в работах У.С. Джевонса, Э. Шредера, П.С. Порецкого.